Геометрическое распределение

Теория

Геометрическое распределение описывает число попыток до первого успеха включительно: сколько раз бросить кость до первой шестёрки, сколько звонков сделать до первой продажи. Параметр \(p\) — вероятность успеха в одной попытке.

Вероятность того, что успех случится ровно на \(k\)-й попытке: \(P(X = k) = p(1-p)^{k-1}\) — сначала \(k-1\) неудач, затем успех. Функция распределения \(P(X \le k) = 1 - (1-p)^k\) — вероятность успеть за \(k\) попыток. Среднее число попыток равно \(1/p\).

Важно: попытки должны быть независимыми — если результат предыдущей попытки влияет на следующую, формула неприменима.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(X = k)

1. Условие. Продажа случается с вероятностью \(p = 0{,}25\). Какова вероятность продать ровно на третьем звонке?
2. Формула. \(P(X = k) = p(1-p)^{k-1}\).
3. Подстановка. \(P(3) = 0{,}25 \times 0{,}75^{2}\).
4. Вычисление. \(0{,}25 \times 0{,}5625 \approx 0{,}1406\).
5. Ответ. Вероятность около 14,1%. Режим «P(X = k)» с p = 0,25, k = 3 даст ≈0,141.

Метод: Функция распределения P(X ≤ k)

1. Условие. Какова вероятность продать не позже третьего звонка?
2. Формула. \(P(X \le k) = 1 - (1-p)^k\).
3. Подстановка. \(P(X \le 3) = 1 - 0{,}75^3\).
4. Вычисление. \(1 - 0{,}421875 \approx 0{,}5781\).
5. Ответ. Вероятность около 57,8%. Режим «P(X ≤ k)» даст ≈0,578.

Главное

• Параметр \(p\) — вероятность успеха в одной попытке.
• Формула: \(P(X = k) = p(1-p)^{k-1}\), \(k \ge 1\).
• Среднее число попыток — \(1/p\).