Гипергеометрическое распределение

Теория

Гипергеометрическое распределение описывает выбор без возвращения: из \(N\) предметов, среди которых \(K\) «успешных», вынимают \(n\) штук и считают, сколько успешных попалось. Пример: из колоды в 52 карты (4 туза) сдают 5 — сколько тузов в руке?

Вероятность ровно \(k\) успехов: \(P(X = k) = \frac{C_K^k \times C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}\) — число способов взять \(k\) успешных, \(n-k\) обычных, делённое на общее число выборок. В отличие от биномиального, вынутые предметы не возвращаются, поэтому вероятности меняются от попытки к попытке.

Важно: если \(n\) мало по сравнению с \(N\), результат близок к биномиальному — изъятие почти не влияет на вероятности.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(X = k)

1. Условие. В коробке 10 деталей, из них 4 бракованные. Наугад берут 5. Какова вероятность ровно двух бракованных?
2. Формула. \(P(X = k) = \frac{C_K^k \times C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}\).
3. Подстановка. \(N = 10\), \(K = 4\), \(n = 5\), \(k = 2\): \(P = \frac{C_4^2 \times C_6^3}{C_{10}^5}\).
4. Вычисление. \(C_4^2 = 6\), \(C_6^3 = 20\), \(C_{10}^5 = 252\); \(P = \frac{120}{252} \approx 0{,}4762\).
5. Ответ. Вероятность около 47,6%. Режим «P(X = k)» даст ≈0,476.

Метод: Функция распределения P(X ≤ k)

1. Условие. Какова вероятность не более двух бракованных?
2. Формула. \(P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{C_K^i \times C_{N-K}^{n-i}}{C_N^n}\).
3. Подстановка. \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
4. Вычисление. \(\frac{6 + 60 + 120}{252} = \frac{186}{252} \approx 0{,}7381\).
5. Ответ. Вероятность около 73,8%. Режим «P(X ≤ k)» даст ≈0,738.

Главное

• Выбор без возвращения из \(N\), среди которых \(K\) успешных.
• Формула: \(P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}\).
• При малом \(n/N\) близко к биномиальному распределению.