Теория
Около любого треугольника можно описать окружность, и ровно одну: её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, поэтому он равноудалён от всех трёх вершин. Вписать окружность тоже можно всегда и только одну: её центр лежит на пересечении биссектрис и равноудалён от всех трёх сторон. Радиусы этих окружностей связаны с площадью треугольника: \(R = \frac{abc}{4S}\) и \(r = \frac{S}{p}\), где \(p\) — полупериметр.
Площадь удобно находить по формуле Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Для правильных фигур формулы проще — сторону связывают с углом при центре: в равностороннем треугольнике \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\) и \(r = \frac{a}{2\sqrt{3}}\), у квадрата \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) и \(r = \frac{a}{2}\), у правильного n-угольника \(R = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}\) и \(r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}\).
Важно: описанная окружность всегда не меньше вписанной, причём \(R \geq 2r\); равенство бывает только у равностороннего треугольника.
Пример с решением
- Условие. Стороны треугольника \(6\), \(8\) и \(10\). Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
- Формула. \(p = \frac{a+b+c}{2}\), \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), \(R = \frac{abc}{4S}\), \(r = \frac{S}{p}\).
- Подстановка. \(p = (6 + 8 + 10)/2 = 12\), \(S = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = \sqrt{576} = 24\).
- Вычисление. \(R = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 24} = \frac{480}{96} = 5\), \(r = \frac{24}{12} = 2\).
- Ответ. \(R = 5\), \(r = 2\). Проверка: \(5 \geq 2 \cdot 2\) — неравенство Эйлера выполнено, значит счёт верный.
Главное
- Центр описанной окружности — серединные перпендикуляры, вписанной — биссектрисы.
- Формулы: \(R = \frac{abc}{4S}\) и \(r = \frac{S}{p}\), площадь — по формуле Герона.
- Правильная фигура: у равностороннего \(R = 2r\), у квадрата \(R/r = \sqrt{2}\), у n-угольника отношение зависит от числа сторон.
- Проверка ответа: всегда \(R \geq 2r\), причём равенство — признак равностороннего треугольника.