Линейная зависимость векторов, базис и координаты

Линейная зависимость векторов и линейная независимость: ранг системы, базис системы векторов, координаты вектора в базисе и ортогонализация Грама–Шмидта с проверками

Все режимы принимают одну и ту же систему векторов

Строки — векторы: каждая строка матрицы — один вектор системы; строки — с новой строки, компоненты — пробелами

Вектор v — одна строка чисел: компонент столько же, сколько у векторов системы

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Линейная зависимость векторов, базис и координаты»

Теория

Векторы линейно зависимы, если один из них выражается через остальные: найдутся такие коэффициенты, что \(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \ldots + c_n v_n = 0\), и хотя бы один из них не равен нулю. Если равенство возможно только при всех нулевых коэффициентах, векторы линейно независимы. Ранг системы — число линейно независимых векторов в ней: у зависимой системы он меньше их количества.

Базис системы — её максимальная линейно независимая подсистема. Через базис выражается любой вектор линейной оболочки, и притом единственным способом — в этом смысл понятия. Калькулятор нумерует базисные векторы по исходному порядку строк: сравнение идёт со ступенчатым видом матрицы, у которой векторы стоят столбцами, поэтому номера указывают на заданные векторы, а не на переставленные строки.

Важно: координаты вектора в базисе — коэффициенты его разложения по базису. У вектора вне линейной оболочки координат не существует: подходящих коэффициентов нет вовсе.

Ортогонализация Грама–Шмидта превращает базис в перпендикулярные векторы: \(e_1 = v_1\), а каждый следующий очищается от проекций на уже построенные — \(e_k = v_k - \sum \frac{v_k \cdot e_i}{e_i \cdot e_i} e_i\). После нормировки \(e_i / |e_i|\) получается ортонормированный базис: длины векторов равны единице, и оболочка остаётся той же.

Пример с решением

  1. Условие. Даны векторы (1; 2), (2; 4), (0; 1). Найти базис системы и координаты вектора v = (3; 4).
  2. Формула. Базис — максимальная линейно независимая подсистема; координаты — коэффициенты разложения \(v = x_1 b_1 + x_2 b_2\).
  3. Подстановка. Вектор (2; 4) в два раза длиннее (1; 2), значит, он лишний, а базис образуют (1; 2) и (0; 1). Разложение: \(x_1 (1; 2) + x_2 (0; 1) = (3; 4)\).
  4. Вычисление. Из первой компоненты x₁ = 3, тогда 2 · 3 + x₂ = 4, откуда x₂ = -2.
  5. Ответ. Базис — векторы 1 и 3, координаты v в нём — (3; -2). Проверка: 3 · (1; 2) - 2 · (0; 1) = (3; 4). Калькулятор считает это режимами «Базис системы векторов» и «Координаты вектора в базисе».

Главное

  • Зависимость: ранг меньше числа векторов — один из них выражается через остальные.
  • Базис: номера исходных векторов; остальные отбрасываются как зависимые.
  • Координаты: в базисе единственны; вектор вне оболочки их не имеет.
  • Грам–Шмидт: ортогональный базис точный, у ортонормированного длины равны единице.