Теория
Линейная регрессия проводит через облако точек прямую \(y = ax + b\), наилучшим образом описывающую зависимость между \(x\) и \(y\). «Наилучшим» значит: сумма квадратов отклонений точек от прямой минимальна — это метод наименьших квадратов.
Параметры прямой считают по формулам: наклон \(a = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\), свободный член \(b = \bar{y} - a\bar{x}\). Тесноту связи измеряет коэффициент корреляции \(r\) от −1 до 1: чем ближе к единице по модулю, тем ближе точки к прямой.
Важно: корреляция не означает причинности — рост продаж мороженого и солнечных дней связаны, но один ряд не «вызывает» другой.
Пример с решением
- Условие. По точкам \(x = 1, 2, 3\) и \(y = 2, 4, 6\) найдите уравнение прямой регрессии.
- Формула. \(a = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\), \(b = \bar{y} - a\bar{x}\).
- Подстановка. \(\bar{x} = 2\), \(\bar{y} = 4\). Отклонения по x: −1, 0, 1; по y: −2, 0, 2.
- Вычисление. Сумма произведений: \(2 + 0 + 2 = 4\); сумма квадратов: \(1 + 0 + 1 = 2\); \(a = 2\), \(b = 4 - 2 \times 2 = 0\).
- Ответ. Прямая \(y = 2x\), корреляция \(r = 1\) — точки лежат на ней идеально. Калькулятор с полями «1, 2, 3» и «2, 4, 6» покажет то же уравнение.
Главное
- Метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов отклонений.
- Уравнение \(y = ax + b\): наклон \(a\), свободный член \(b\).
- \(r\) — теснота связи от −1 до 1.