Логнормальное распределение

Теория

Логнормальное распределение описывает величину, чей логарифм распределён нормально. Ему подчиняются доходы населения, размеры частиц, стоимость акций: значения всегда положительны, большинство — небольшие, но встречаются очень большие (длинный правый «хвост»).

Параметры \(\mu\) и \(\sigma\) — среднее и стандартное отклонение логарифма величины, а не самой величины. Плотность: \(f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\). При \(\mu = 0\), \(\sigma = 1\) это «стандартное» логнормальное распределение.

Важно: логнормальная величина не бывает отрицательной; её среднее и медиана не совпадают — медиана равна \(e^{\mu}\), а среднее всегда больше.

Пример с решением

Метод: Плотность f(x)

1. Условие. Найдите плотность стандартного логнормального распределения (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)) в точке \(x = 1\).
2. Формула. \(f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}\).
3. Подстановка. \(\ln 1 = 0\), поэтому \(f(1) = \frac{1}{1 \times \sqrt{2\pi}} e^{0}\).
4. Вычисление. \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\).
5. Ответ. \(f(1) \approx 0{,}399\). Режим «Плотность» с μ = 0, σ = 1, x = 1 даст то же значение.

Метод: Функция распределения F(x)

1. Условие. Найдите \(P(X \le 1)\) для стандартного логнормального распределения.
2. Формула. \(F(x) = \Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)\) — через стандартное нормальное.
3. Подстановка. \(\frac{\ln 1 - 0}{1} = 0\), ищем \(\Phi(0)\).
4. Вычисление. В силу симметрии \(\Phi(0) = 0{,}5\).
5. Ответ. \(P(X \le 1) = 0{,}5\). Режим «F(x)» с x = 1 даст 0,5.

Главное

• Логнормальное = нормальное у логарифма величины.
• Только положительные значения с длинным правым хвостом.
• Связь с нормальным: \(F(x) = \Phi((\ln x - \mu)/\sigma)\).