Теория
Характеристический многочлен матрицы — это определитель \(\det(A - \lambda E)\), где \(A\) — квадратная матрица, \(E\) — единичная того же размера, а \(\lambda\) — переменная. Раскрыв определитель, получают обычный многочлен степени n от \(\lambda\): у матрицы 2×2 — квадратный, у 3×3 — кубический. Старший коэффициент такого многочлена всегда равен единице.
Зачем он нужен: собственные значения матрицы — ровно корни этого многочлена. Уравнение \(\det(A - \lambda E) = 0\) называют характеристическим: из него находят спектр матрицы, а по нему — собственные векторы.
Важно: коэффициенты многочлена не случайны: при \(\lambda^{n-1}\) стоит \(-\operatorname{tr} A\) (минус след), а свободный член равен \((-1)^n \det A\). Это теорема Виета, и калькулятор сверяет обе связи сам.
Пример с решением
- Условие. Найти характеристический многочлен матрицы A = [1 2; 3 4]. В калькулятор она вводится строками «1 2» и «3 4».
- Формула. \(\det(A - \lambda E)\) — определитель матрицы [1 − λ, 2; 3, 4 − λ].
- Подстановка. Для матрицы 2×2 определитель равен произведению диагоналей минус произведение побочной: \((1 - \lambda)(4 - \lambda) - 2 \cdot 3\).
- Вычисление. \(4 - \lambda - 4\lambda + \lambda^2 - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2\).
- Ответ. \(\lambda^2 - 5\lambda - 2\). Сверка с Виетом: \(-\operatorname{tr} A = -5\) и \((-1)^2 \det A = -2\) — обе связи сошлись. Корни этого многочлена: \((5 \pm \sqrt{33})/2\).
Главное
- Степень: у матрицы n×n многочлен степени n со старшим коэффициентом 1.
- Виет: \(-\operatorname{tr} A\) — коэффициент при \(\lambda^{n-1}\), \((-1)^n \det A\) — свободный член.
- Корни: корни многочлена — собственные значения матрицы; для 2×2–4×4 калькулятор показывает их рядом.