Теория
Определитель — число, сопоставленное квадратной матрице; обозначается \(\det A\) или \(|A|\). Для матрицы 2×2 он равен \(ad - bc\), для 3×3 — сумме трёх произведений «по диагоналям вниз» минус три произведения «вверх» (правило треугольников).
Определитель говорит о матрице главное: если \(\det A = 0\), строки линейно зависимы, матрица вырожденная и обратной не существует. Перестановка двух строк меняет знак определителя, а строка из нулей обнуляет его.
Для матриц 4×4 и больше формулу «в лоб» не применяют: матрицу приводят к треугольному виду элементарными преобразованиями строк, и тогда определитель равен произведению диагонали, умноженному на \((-1)^k\), где k — число перестановок строк.
Важно: у треугольной матрицы определитель — просто произведение элементов главной диагонали.
Пример с решением
- Условие. Найти определитель A = [2 −1 3; 0 5 4; 1 2 0].
- Произведения «вниз». 2·5·0 = 0; (−1)·4·1 = −4; 3·0·2 = 0 — сумма −4.
- Произведения «вверх». 3·5·1 = 15; 2·4·2 = 16; (−1)·0·0 = 0 — сумма 31.
- Вычисление. det A = −4 − 31 = −35.
- Ответ. det A = −35; определитель не равен нулю, значит матрица невырожденная.
Главное
- 2×2: det A = ad − bc; 3×3: правило треугольников.
- det A = 0 — матрица вырожденная, обратной нет.
- 4×4 и 5×5: приведение к треугольному виду, det — произведение диагонали с учётом перестановок.