Теория
Ступенчатый вид матрицы получается элементарными преобразованиями строк: строки можно менять местами, умножать строку на ненулевое число и прибавлять к строке другую, умноженную на число. Такие преобразования не меняют ни ранг матрицы, ни множество решений системы: \(\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A_{\text{ступ}}\). Матрица при этом принимает вид «лесенки»: каждый следующий ведущий элемент стоит правее предыдущего, под ведущими — нули, а нулевые строки уходят вниз.
Прямой ход Гаусса обнуляет элементы под ведущими — это и есть ступенчатый вид. Обратный ход Жордана доводит его до приведённого ступенчатого вида: ведущие нормируются в единицу, а их столбцы обнуляются и выше, и ниже. В приведённом виде ведущие стоят «одиночными» единицами, поэтому по нему сразу читаются ранг — число ненулевых строк — и ведущие (базисные) столбцы. Свободные столбцы через ведущие выражаются, так что ведущие столбцы — это базис системы столбцов матрицы.
Зачем это нужно: из ступенчатого вида система решается обратной подстановкой, а приведённый вид даёт ответ сразу — к приведённому виду приводят и расширенную матрицу при поиске обратной. Нулевая строка означает, что эта строка линейно зависима от остальных, — именно такие строки уменьшают ранг. Матрица может быть прямоугольной: ступенчатый вид есть у любой матрицы размера m×n. Калькулятор принимает до 10×10 и сравнивает элементы точно: 0,5 — это 1/2, поэтому ведущие не «плывут» из-за округления.
Важно: ступенчатый вид зависит от способа приведения, а приведённый — единственный: как ни преобразуй матрицу, получится одна и та же приведённая форма.
Пример с решением
- Условие. Привести к ступенчатому и приведённому виду матрицу A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9].
- Формула. Элементарное преобразование строк: \(R_i \to R_i - \lambda \cdot R_j\).
- Подстановка. Первый столбец: из второй строки вычтем первую с λ = 4, из третьей — первую с λ = 7. Второй столбец: из третьей строки вычтем вторую с λ = 2.
- Вычисление. Получаем ступенчатый вид [1 2 3; 0 −3 −6; 0 0 0]. Обратный ход: разделим вторую строку на −3 и вычтем её из первой с множителем 2 — приведённый вид [1 0 −1; 0 1 2; 0 0 0].
- Ответ. Ранг равен 2, ведущие столбцы — первый и второй. Третий столбец через них выражается: он равен −(первый) + 2·(второй). Сверьте: калькулятор покажет обе формы, ранг и ведущие столбцы.
Главное
- Ступенчатый вид: ведущие идут слева направо, под ними нули, нулевые строки — внизу.
- Приведённый вид: ведущие — единицы, их столбцы обнулены; обратный ход Жордана, форма единственна.
- Ранг и столбцы: ранг — число ненулевых строк, ведущие столбцы — столбцы с ведущими.