Собственные значения и векторы

Собственные значения матрицы и собственные векторы для матриц от 2×2 до 10×10: характеристический многочлен, комплексные и кратные значения с проверкой следом и определителем

Квадратная матрица от 2×2 до 10×10: строки — с новой строки или через «;», числа — пробелами

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Собственные значения и векторы»

Теория

Собственный вектор матрицы — это ненулевой вектор, который матрица не поворачивает, а только растягивает: \(A v = \lambda v\). Число \(\lambda\) называется собственным значением. Геометрически это выделенные направления: вектор остаётся на своей прямой, меняется лишь его длина, а при отрицательном λ — направление на противоположное.

Собственные значения находят из характеристического уравнения \(\det(A - \lambda E) = 0\): его левая часть — характеристический многочлен степени n, а его корни — спектр матрицы. Действительных корней может быть меньше n, недостающие всегда комплексные и идут сопряжёнными парами \(a + bi\) и \(a - bi\) — например, у поворота на 90° спектр \(\pm i\). Векторы для них тоже комплексные, поэтому калькулятор их не выводит.

Важно: сумма собственных значений равна следу матрицы, а произведение — её определителю. Посчитайте след и определитель по матрице и сравните с найденным спектром.

Кратность корня — сколько раз значение повторяется. Значению кратности k отвечает целое подпространство векторов: «одно значение — один вектор» неверно. Калькулятор показывает один из них — нормированный так, что первая ненулевая компонента равна единице.

Сам вектор для вещественного λ находится из системы \((A - \lambda E) v = 0\): она однородная, поэтому решений бесконечно много, но все они лежат на одной прямой — важно направление, а не длина.

Пример с решением

  1. Условие. Найти собственные значения и векторы матрицы A = [2 1; 1 2].
  2. Формула. Характеристическое уравнение: \(\det(A - \lambda E) = 0\).
  3. Подстановка. Вычтем \(\lambda E\): матрица [2 − λ, 1; 1, 2 − λ], её определитель равен \((2 - \lambda)^2 - 1\).
  4. Вычисление. Многочлен \(\lambda^2 - 4\lambda + 3\) даёт корни λ = 1 и λ = 3; системы (A − λE)v = 0 дают векторы (1; −1) и (1; 1).
  5. Ответ. λ₁ = 1, λ₂ = 3; векторы (1; −1) и (1; 1). Проверка: след 2 + 2 = 4 = 1 + 3, определитель 3 = 1 · 3. Сверьте: калькулятор покажет многочлен, значения и векторы с проверкой.

Главное

  • Уравнение: собственные значения — корни \(\det(A - \lambda E) = 0\).
  • Комплексные корни: пара \(a \pm bi\) — собственные векторы для них не выводятся.
  • Кратные корни: значение кратности k задаёт подпространство векторов; показывается один.
  • Проверка: сумма λ равна следу, произведение — определителю.