Теория
Матричное уравнение — уравнение, в котором неизвестное \(X\) — матрица. Три основных вида: \(A \cdot X = B\), \(X \cdot A = B\) и \(A \cdot X \cdot B = C\). Решаются они одинаково — умножением на обратную матрицу, но сторона умножения определяется порядком множителей.
Матричное умножение некоммутативно, поэтому из \(A \cdot X = B\) получают \(X = A^{-1} \cdot B\) (обе части умножают на \(A^{-1}\) слева), а из \(X \cdot A = B\) — \(X = B \cdot A^{-1}\) (справа). Перепутать нельзя: \(A^{-1} \cdot B\) и \(B \cdot A^{-1}\) — разные матрицы. В третьем виде множители стоят с двух сторон, поэтому на \(A^{-1}\) умножают слева, а на \(B^{-1}\) справа: \(X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}\).
Размеры должны быть согласованы: A и B — квадратные матрицы, а размер C задаёт размер неизвестной X.
Важно: при det A = 0 (для A·X·B = C — ещё и при det B = 0) обратной матрицы не существует, и уравнение не имеет единственного решения.
Пример с решением
- Условие. Решить A·X = B для A = [2 0; 0 1] и B = [4 2; 1 3].
- Обратная матрица. det A = 2, обратная A⁻¹ = [1/2 0; 0 1].
- Умножение. X = A⁻¹ · B = [1/2 0; 0 1] · [4 2; 1 3] = [2 1; 1 3].
- Ответ. Проверка подстановкой: A · X = [4 2; 1 3] — совпало с B. Калькулятор показывает эту проверку в решении, а элементы считает в точных дробях: вместо округлённого 0,5 в ответе стоит 1/2.
Главное
- \(A \cdot X = B \Rightarrow X = A^{-1} \cdot B\); \(X \cdot A = B \Rightarrow X = B \cdot A^{-1}\); \(A \cdot X \cdot B = C \Rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}\).
- Сторона умножения — часть ответа: \(A^{-1} \cdot B\) и \(B \cdot A^{-1}\) не равны.
- Проверка подстановкой подтверждает решение.