Теория
Обратная матрица \(A^{-1}\) — такая матрица, что \(A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = E\), где E — единичная матрица. Обратная существует только у квадратных матриц с ненулевым определителем.
Для матрицы 2×2 формула короткая: присоединённая матрица получается перестановкой элементов главной диагонали и сменой знаков у побочной, затем всё делится на определитель: \(A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot [d, -b; -c, a]\).
Для 3×3 используют алгебраические дополнения: \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\), где \(M_{ij}\) — минор (определитель без строки i и столбца j). Из дополнений составляют матрицу, транспонируют её — получают присоединённую, — и делят на определитель.
Для матриц 4×4 и 5×5 удобнее метод Гаусса–Жордана: к матрице приписывают единичную и преобразованиями строк приводят левую половину к единичной — справа остаётся обратная.
Важно: результат стоит проверять умножением: у верного ответа \(A \cdot A^{-1}\) даёт единичную матрицу.
Пример с решением
- Условие. Найти обратную к A = [4 7; 2 6].
- Определитель. det A = 4·6 − 7·2 = 10 — не равен нулю, обратная есть.
- Присоединённая матрица. Меняем диагональ и знаки побочной: [6 −7; −2 4].
- Деление. Делим каждый элемент на 10: A⁻¹ = [0,6 −0,7; −0,2 0,4].
- Ответ. Проверка: A · A⁻¹ = [1 0; 0 1] — единичная матрица, всё верно.
Главное
- \(A \cdot A^{-1} = E\); при det A = 0 обратной матрицы не существует.
- 2×2 и 3×3 — алгебраические дополнения, 4×4 и 5×5 — метод Гаусса–Жордана.
- Проверка умножением — обязательный шаг.