LU-разложение

LU-разложение матрицы: разложение матрицы на треугольные L и U — нижнетреугольную с единицами и верхнетреугольную — с частичным выбором ведущего, матрица перестановки строк P и проверка A = P⁻¹·L·U

Квадратная матрица от 2×2 до 10×10: строки — с новой строки или через «;», числа — пробелами (десятичная запятая допустима)

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «LU-разложение»

Теория

LU-разложение записывает матрицу произведением двух треугольных: \(A = L \cdot U\), где \(L\) — нижнетреугольная с единицами на диагонали, а \(U\) — верхнетреугольная. Это та же запись, что остаётся после прямого хода Гаусса: множители, на которые умножали ведущие строки, складываются в \(L\), а приведённая матрица — это \(U\).

Зачем это нужно. Система \(A x = b\) решается в два лёгких шага: сначала \(L y = b\), затем \(U x = y\) — в треугольной системе неизвестные находятся один за другим подстановкой. Разложение считается один раз, а правых частей может быть сколько угодно. Через \(U\) читается и определитель: \(\det A = (-1)^{s} \cdot u_{11} u_{22} \dots u_{nn}\) — произведение диагонали \(U\) со знаком перестановок.

Делить приходится на ведущий элемент столбца. Если он нулевой или очень мал, множители выходят огромными и ошибка округления растёт. Поэтому строки заранее меняют местами: ведущим берут наибольший по модулю элемент столбца. Перестановки собираются в матрицу \(P\), и разложение записывается как \(P \cdot A = L \cdot U\), то есть \(A = P^{-1} L U\).

Важно: LU считает структуру матрицы численно: значения \(L\) и \(U\) печатаются десятичными даже при точном вводе, а нулевой ведущий означает, что матрица вырождена и разложение не единственно.

Пример с решением

  1. Условие. Разложить матрицу \(A = [4\ 3;\ 2\ 1]\).
  2. Формула. \(A = L \cdot U\), у \(L\) на диагонали единицы.
  3. Подстановка. Ведущий 4 больше 2 — перестановка не нужна. Множитель второй строки: \(2 : 4 = 0{,}5\).
  4. Вычисление. Вычитаем из второй строки первую с множителем 0,5: \([2\ 1] - 0{,}5 \cdot [4\ 3] = [0\ -0{,}5]\). Получаем \(L = [1\ 0;\ 0{,}5\ 1]\) и \(U = [4\ 3;\ 0\ -0{,}5]\).
  5. Ответ. \(L \cdot U = [4\ 3;\ 2\ 1] = A\) — проверка сходится. Введите «4 3» и «2 1»: калькулятор покажет \(L = [1\ 0;\ 0,5\ 1]\), \(U = [4\ 3;\ 0\ -0,5]\) и сверит \(A = P^{-1} L U\). У матрицы «0 2» и «1 3» он ещё и переставит строки: матрица перестановки \(P = [0\ 1;\ 1\ 0]\) (порядок строк — пояснение к ней).

Главное

  • Что это: \(A = L \cdot U\) — нижнетреугольная с единицами и верхнетреугольная матрицы.
  • Зачем: система решается двумя подстановками, а \(\det A\) — произведение диагонали \(U\) со знаком перестановок.
  • Выбор ведущего: строки меняются местами, чтобы ведущий был наибольшим по модулю; обмены собираются в матрицу \(P\).