Теория
Минор \(M_{ij}\) — определитель, который остаётся от матрицы, если вычеркнуть строку i и столбец j. Порядок минора — размер оставшейся подматрицы: у минора порядка k в нём k строк и k столбцов, а всего у матрицы размера n×n таких миноров \(C_n^k \cdot C_n^k\). Минор порядка n — это сам определитель, а миноры порядка n − 1 — те, из которых собирается обратная матрица.
Алгебраическое дополнение \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\) — минор со знаком: плюс при чётной сумме номеров, минус при нечётной. Знаки чередуются, как клетки шахматной доски: + − + в первой строке, и дальше в том же порядке. Матрица из всех дополнений, транспонированная, называется союзной (присоединённой) и связана с обратной: \(A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \operatorname{adj} A\).
Разложение по строке связывает дополнения с определителем: \(\det A = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \ldots + a_{in} A_{in}\). Элементы строки умножаются на свои алгебраические дополнения, и сумма равна определителю — по любой строке.
Важно: знак — часть ответа: один и тот же минор в разных позициях даёт разные дополнения.
Пример с решением
- Условие. Для матрицы A = [1 2 3; 0 4 5; 1 0 6] найти дополнение A₁₂ и всю матрицу дополнений.
- Формула. \(A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}\).
- Подстановка. Вычёркиваем строку 1 и столбец 2 — остаётся подматрица [0 5; 1 6], её определитель равен 0·6 − 5·1 = −5.
- Вычисление. Сумма номеров 1 + 2 = 3 нечётная, значит знак минус: A₁₂ = −(−5) = 5. Так же получаются остальные дополнения: [24 5 −4; −12 3 2; −2 −5 4].
- Ответ. Разложение по первой строке: 1·24 + 2·5 + 3·(−4) = 22 — это и есть det A. Калькулятор показывает и матрицу дополнений, и такую проверку.
Главное
- Минор: определитель подматрицы после вычёркивания строки и столбца.
- Дополнение: \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) — минор со знаком.
- Проверка: разложение по любой строке даёт \(\det A\).