Теория
Матрица — прямоугольная таблица чисел; её размер записывают как «число строк × число столбцов». Сложение и вычитание поэлементны: \((A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}\), поэтому размеры матриц должны совпадать.
Умножение устроено иначе: элемент результата — сумма произведений строки первой матрицы на столбец второй, \(c_{ij} = \sum_k a_{ik} \cdot b_{kj}\). Умножить можно только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; размер результата — «строки A × столбцы B».
Транспонирование переворачивает матрицу: строки становятся столбцами, \(a_{ij}\) переходит в \(a_{ji}\). Умножение матриц не перестановочно: произведения \(A \cdot B\) и \(B \cdot A\) — вообще говоря, разные матрицы.
Важно: строки матрицы вводятся с новой строки или через точку с запятой, числа — через пробел; десятичная запятая допустима. Размер — от 1×1 до 5×5.
Пример с решением
- Условие. Даны A = [1 2; 3 4] и B = [5 6; 7 8]. Найти A · B.
- Размеры. Обе матрицы 2×2: число столбцов A равно числу строк B, результат тоже 2×2.
- Первая строка. c₁₁ = 1·5 + 2·7 = 19; c₁₂ = 1·6 + 2·8 = 22.
- Вторая строка. c₂₁ = 3·5 + 4·7 = 43; c₂₂ = 3·6 + 4·8 = 50.
- Ответ. A · B = [19 22; 43 50]. Проверка порядка: B · A = [23 34; 31 46] — результат другой.
Главное
- Сложение и вычитание — поэлементно, при одинаковых размерах.
- Умножение — «строка на столбец»: столбцы A = строки B.
- Транспонирование меняет местами строки и столбцы; \(A \cdot B\) не равно \(B \cdot A\).