Возведение матрицы в степень

Теория

Возведение матрицы в степень — это многократное умножение её на себя: \(A^n = A \cdot A \cdot \ldots \cdot A\) (n множителей). Возводить в степень можно только квадратные матрицы: иначе произведение не определено.

По определению \(A^0 = E\) — единичная матрица, а \(A^1 = A\). Степени перемножаются привычно: \(A^k \cdot A^m = A^{k+m}\), \((A^k)^m = A^{km}\).

Считать степени удобно последовательно: \(A^2 = A \cdot A\), \(A^3 = A^2 \cdot A\) и так далее. При этом числа могут расти очень быстро — например, у матрицы из сотен уже десятая степень даёт миллиарды; поэтому калькулятор останавливает расчёт, если элементы становятся слишком большими.

Важно: порядок умножения важен: \(A \cdot A^2 = A^2 \cdot A = A^3\), но для разных матриц \(A \cdot B\) и \(B \cdot A\) не совпадают.

Пример с решением

1. Условие. Найти A³ для A = [1 1; 0 1].
2. Квадрат. A² = A · A: c₁₁ = 1·1 + 1·0 = 1; c₁₂ = 1·1 + 1·1 = 2; c₂₁ = 0; c₂₂ = 1. Итого [1 2; 0 1].
3. Куб. A³ = A² · A: c₁₂ = 1·1 + 2·1 = 3, остальные элементы как у A².
4. Проверка. A³ = A² · A = [1 2; 0 1] · [1 1; 0 1] = [1 3; 0 1].
5. Ответ. A³ = [1 3; 0 1]. Закономерность: у этой матрицы Aⁿ = [1 n; 0 1].

Главное

• \(A^n\) — n-кратное умножение матрицы на себя; только для квадратных матриц.
• \(A^0 = E\), \(A^1 = A\); степени перемножаются как обычные.
• Элементы быстро растут — следите за степенями больших чисел.