Квадратичная форма

Квадратичная форма: матрица формы по коэффициентам, канонический вид методом Лагранжа (выделение полных квадратов) и критерий Сильвестра — знакоопределённость формы по главным угловым минорам

Квадратная матрица коэффициентов формы от 2×2 до 10×10: строки — с новой строки или через «;», числа — пробелами (десятичная запятая допустима). Внедиагональные клетки — коэффициент при xᵢxⱼ, заполняются одинаково: форма x² + 2xy + 2y² записывается строками «1 2» и «2 2». Матрица формы получается делением внедиагональных клеток пополам

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Квадратичная форма»

Теория

Квадратичная форма — это выражение вида \(q(x) = \sum q_{ij} x_i x_j\): сумма квадратов переменных и попарных произведений с коэффициентами. Форму удобно записывать через симметричную матрицу: \(q(x) = x^{T} A x\). Слагаемое \(q_{ij} x_i x_j\) в записи \(x^{T} A x\) даёт два равных вклада — \(a_{ij} x_i x_j\) и \(a_{ji} x_j x_i\), — поэтому внедиагональные коэффициенты матрицы формы вдвое меньше коэффициентов формы: \(a_{ij} = q_{ij} / 2\). Форма \(x^2 + 2xy + 2y^2\) задаётся строками «1 2» и «2 2», а её матрица равна [1 1; 1 2].

Канонический вид — запись формы в новых переменных, где остались только квадраты: \(q = c_1 y_1^2 + \ldots + c_n y_n^2\). К нему приводит метод Лагранжа: если коэффициент при \(x_i^2\) не нулевой, из всех слагаемых с \(x_i\) собирают полный квадрат, а остаток снова является квадратичной формой — уже без \(x_i\). Когда вся диагональ нулевая, пару переменных заменяют на полусумму и полуразность, после чего квадрат выделяется как обычно. Число положительных и отрицательных коэффициентов канонического вида (инерция формы) от замены не зависит — это и есть знакоопределённость.

Важно: все коэффициенты канонического вида положительные — форма положительно определённая, все отрицательные — отрицательно определённая, среди них есть нули — полуопределённая, есть и плюсы, и минусы — знакопеременная (неопределённая).

Критерий Сильвестра отвечает на тот же вопрос по самой матрице формы, не приводя её: у положительно определённой формы все главные угловые миноры \(D_1, \ldots, D_n\) положительны, у отрицательно определённой их знаки чередуются, начиная с минуса. Если какой-то минор равен нулю, критерий определённости не даёт — калькулятор берёт ответ из канонического вида.

Пример с решением

  1. Условие. Привести к каноническому виду форму \(q = x^2 + 2xy + 2y^2\). Её коэффициенты: 1 при \(x^2\), 2 при \(xy\), 2 при \(y^2\) — калькулятор принимает их строками «1 2» и «2 2».
  2. Формула. Матрица формы: \(a_{ii} = q_{ii}\), \(a_{ij} = q_{ij}/2\) при \(i \neq j\).
  3. Подстановка. Диагональ как есть, коэффициент 2 при \(xy\) делится пополам: \(A = [1\ 1;\ 1\ 2]\).
  4. Вычисление. Полный квадрат по \(x\): \(x^2 + 2xy + 2y^2 = (x + y)^2 + y^2\). Угловые миноры: \(D_1 = 1\), \(D_2 = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 1\) — оба положительны.
  5. Ответ. \(q = (x + y)^2 + y^2\) — канонический вид \(y_1^2 + y_2^2\) с коэффициентами 1 и 1, форма положительно определённая. Критерий Сильвестра даёт тот же ответ.

Главное

  • Соглашение: на вход подаются коэффициенты формы, как она записана; внедиагональные клетки матрицы формы получаются делением пополам.
  • Лагранж: канонический вид — выделение полных квадратов; калькулятор считает коэффициенты точно, дробями.
  • Сильвестр: положительно определённая — все угловые миноры положительны, отрицательно определённая — знаки чередуются; нулевой минор — критерий ответа не даёт.