Теория
Ранг матрицы — максимальное число её линейно независимых строк (оно же — максимальное число независимых столбцов). Ранг показывает, сколько «полезной» информации несёт матрица: зависимые строки — это строки, которые выражаются через остальные.
Вычисляют ранг приведением к ступенчатому виду: элементарные преобразования строк (прибавить к строке другую, умноженную на число; поменять строки местами) ранг не меняют. В ступенчатом виде каждая следующая строка начинается правее ведущего элемента предыдущей, а все нулевые строки уходят вниз.
Ранг равен числу ненулевых строк ступенчатого вида. Столбцы, в которых стоят ведущие элементы, называют базисными. Ранг не превосходит меньшего из размеров матрицы: у матрицы 2×4 он не больше двух, у нулевой матрицы ранг равен нулю.
Важно: если при приведении строка обратилась в нуль — она линейно зависима от остальных; именно такие строки уменьшают ранг.
Пример с решением
- Условие. Найти ранг матрицы [1 2 3; 2 4 6; 1 1 1].
- Вторая строка. Вычтем из неё первую, умноженную на 2: 2 − 2·1 = 0, 4 − 2·2 = 0, 6 − 2·3 = 0 — строка обнулилась.
- Третья строка. Вычтем первую: [0 −1 −2].
- Ступенчатый вид. Ненулевые строки: [1 2 3] и [0 −1 −2] — две.
- Ответ. Ранг равен 2: одна строка линейно зависима, базисные столбцы — первый и второй.
Главное
- Ранг — число ненулевых строк ступенчатого вида.
- Элементарные преобразования строк ранг не меняют.
- Нулевая строка в приведении означает линейную зависимость.