Теория
След матрицы — это сумма её диагональных элементов: \(\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}\). Диагональ идёт из левого верхнего угла в правый нижний, и у квадратной матрицы n×n в ней ровно n элементов. У прямоугольной матрицы следа нет — складывать «диагональ» 2×3 не из чего. След — одно число, но оно удивительно информативно: это самый дешёвый способ узнать о матрице хоть что-то существенное, не разворачивая её целиком.
След линеен: \(\operatorname{tr}(A + B) = \operatorname{tr} A + \operatorname{tr} B\) и \(\operatorname{tr}(cA) = c \cdot \operatorname{tr} A\). Главное свойство — \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\), хотя сами произведения AB и BA различны. Из него следует, что след не меняется при циклической перестановке множителей и при переходе к подобной матрице: \(\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr} A\). Поэтому след — характеристика самого преобразования, а не выбранного базиса.
Спектр связан со следом напрямую: \(\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n\). В характеристическом многочлене \(\lambda^n - \operatorname{tr} A \cdot \lambda^{n-1} + \dots\) след стоит коэффициентом при \(\lambda^{n-1}\) — по теореме Виета это сумма корней. Равенство верно и для комплексных собственных значений: у вещественной матрицы они идут сопряжёнными парами, и мнимые части взаимно сокращаются.
Важно: след есть только у квадратной матрицы, а сумма собственных значений всегда равна следу — включая комплексные λ.
Пример с решением
- Условие. Найти след матрицы A = [1 2; 3 4].
- Формула. \(\operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22}\).
- Подстановка. Диагональные элементы: \(a_{11} = 1\), \(a_{22} = 4\).
- Вычисление. \(\operatorname{tr} A = 1 + 4 = 5\).
- Ответ. \(\operatorname{tr} A = 5\). Проверка спектром: характеристический многочлен \(\lambda^2 - 5\lambda - 2\) имеет корни \(\lambda_{1,2} = (5 \pm \sqrt{33})/2\), и их сумма тоже равна 5. Калькулятор покажет и диагональ по шагам, и сверку Σλ со следом.
Главное
- Определение: след — сумма диагональных элементов квадратной матрицы.
- Линейность и цикл: \(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\), след не меняется у подобных матриц.
- Спектр: \(\operatorname{tr} A = \lambda_1 + \dots + \lambda_n\); 0,5 в вводе — это 1/2, поэтому калькулятор считает след точно, дробями.