Отрицательное биномиальное

Теория

Отрицательное биномиальное распределение обобщает геометрическое: оно описывает число неудач \(k\), случившихся до \(r\)-го успеха в независимых испытаниях. Пример: сколько раз промахнуться, прежде чем попасть в цель в третий раз.

Вероятность ровно \(k\) неудач: \(P(X = k) = C_{k+r-1}^{k} p^r (1-p)^k\). Сомножитель \(p^r\) — вероятность \(r\) успехов, \((1-p)^k\) — вероятность \(k\) неудач, а сочетания считают, сколькими способами их можно перемешать: последним испытанием всегда успех. Функция распределения выражается через неполную бета-функцию.

Важно: не путать с биномиальным: там фиксировано число испытаний, здесь — число успехов \(r\), а испытаний может быть сколько угодно.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(X = k)

1. Условие. Баскетболист попадает с вероятностью \(p = 0{,}5\). Какова вероятность, что третий успех случится после ровно двух промахов?
2. Формула. \(P(X = k) = C_{k+r-1}^{k} p^r (1-p)^k\).
3. Подстановка. \(r = 3\), \(k = 2\): \(P = C_4^2 \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^2\).
4. Вычисление. \(C_4^2 = 6\), поэтому \(P = 6 \times 0{,}5^5 = \frac{6}{32} = 0{,}1875\).
5. Ответ. Вероятность около 18,75%. Режим «P(X = k)» с r = 3, p = 0,5, k = 2 даст ≈0,188.

Метод: Функция распределения P(X ≤ k)

1. Условие. Какова вероятность, что промахов будет не больше двух?
2. Формула. \(P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} C_{i+r-1}^{i} p^r (1-p)^i\).
3. Подстановка. \(P(X \le 2) = P(0) + P(1) + P(2)\).
4. Вычисление. \(0{,}125 + 3 \times 0{,}0625 + 6 \times 0{,}03125 = 0{,}125 + 0{,}1875 + 0{,}1875 = 0{,}5\).
5. Ответ. Вероятность около 50%. Режим «P(X ≤ k)» даст ≈0,5.

Главное

• Параметры: число успехов \(r\) и вероятность \(p\).
• Формула: \(P(X = k) = C_{k+r-1}^{k} p^r (1-p)^k\), k — число неудач.
• Геометрическое распределение — частный случай при \(r = 1\).