Теория
Нормальное распределение — колоколообразное распределение, полностью заданное двумя параметрами: средним \(\mu\), вокруг которого кривая симметрична, и стандартным отклонением \(\sigma\), задающим её ширину. Ему подчиняются рост людей, ошибки измерений, суммарный спрос на товар — величины, складывающиеся из многих независимых случайных факторов.
Ключевое правило: в пределах \(\mu \pm \sigma\) лежит около 68% значений, в пределах \(\mu \pm 2\sigma\) — около 95%, в пределах \(\mu \pm 3\sigma\) — около 99,7%. Вероятности для любого нормального распределения считают через стандартное (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)), подставляя \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\).
Важно: нормальная кривая никогда не касается оси — вероятность любого конкретного значения равна нулю, смысл имеют только интервалы.
Пример с решением
- Условие. Для стандартного нормального распределения (\(\mu = 0\), \(\sigma = 1\)) найдите \(P(X \le 1)\).
- Формула. \(P(X \le x) = \Phi(x)\) — функция стандартного нормального распределения.
- Подстановка. \(x = 1\), табличное значение \(\Phi(1)\).
- Вычисление. \(\Phi(1) \approx 0{,}8413\) — примерно 84% значений лежат левее единицы.
- Ответ. \(P(X \le 1) \approx 0{,}841\). Калькулятор с полями x = 1, μ = 0, σ = 1 даст то же значение.
Главное
- Параметры: \(\mu\) — центр, \(\sigma\) — разброс.
- Правило сигм: 68% — \(\pm\sigma\), 95% — \(\pm2\sigma\), 99,7% — \(\pm3\sigma\).
- Стандартизация: \(z = \frac{x-\mu}{\sigma}\) сводит любой случай к стандартному.