Теория
Коэффициент корреляции Пирсона измеряет силу и направление линейной связи двух переменных: \(r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \times \sum(y_i - \bar{y})^2}}\). Он всегда лежит между −1 и 1: положительные значения — прямая связь (растут вместе), отрицательные — обратная.
Чем ближе \(r\) к ±1, тем плотнее точки ложатся на прямую; около нуля линейной связи нет, хотя возможна нелинейная. Значимость коэффициента проверяют t-статистикой \(t = r\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\) с \(n-2\) степенями свободы.
Важно: сильная корреляция не доказывает причинно-следственную связь — обе переменные может двигать третий, скрытый фактор.
Пример с решением
- Условие. Найдите корреляцию между \(x = 1, 2, 3\) и \(y = 1, 3, 2\).
- Формула. \(r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \times \sum(y_i - \bar{y})^2}}\).
- Подстановка. Средние: \(\bar{x} = 2\), \(\bar{y} = 2\). Отклонения x: −1, 0, 1; y: −1, 1, 0.
- Вычисление. Сумма произведений: \(1 + 0 + 0 = 1\); суммы квадратов: \(1 + 0 + 1 = 2\) и \(1 + 1 + 0 = 2\); \(r = \frac{1}{\sqrt{2 \times 2}} = 0{,}5\).
- Ответ. \(r = 0{,}5\) — умеренная положительная связь. Калькулятор с полями «1, 2, 3» и «1, 3, 2» покажет то же значение.
Главное
- \(r\) — от −1 до 1: знак — направление, модуль — сила связи.
- \(r = 0\) — нет линейной связи (нелинейная возможна).
- Корреляция ≠ причинность.