Распределение Пуассона

Теория

Распределение Пуассона описывает число редких событий за фиксированный интервал: звонков в колл-центр за час, опечаток на страницу, частиц при распаде. У него один параметр — \(\lambda\), среднее число событий; дисперсия при этом тоже равна \(\lambda\).

Вероятность ровно \(k\) событий: \(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\). Функция распределения \(P(X \le k)\) суммирует эти вероятности от 0 до \(k\). При большом \(\lambda\) распределение Пуассона приближается к нормальному.

Важно: Пуассон применим к независимым событиям с постоянной интенсивностью — если события «склеиваются» или частота меняется, модель даст сбой.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(X = k)

1. Условие. Магазин получает в среднем \(\lambda = 2\) заказа в час. Какова вероятность ровно 3 заказов?
2. Формула. \(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\).
3. Подстановка. \(k = 3\): \(P = \frac{2^3 e^{-2}}{3!} = \frac{8 \times 0{,}1353}{6}\).
4. Вычисление. \(P \approx 0{,}1804\).
5. Ответ. Вероятность трёх заказов — около 18%. Калькулятор в режиме «P(X = k)» с λ = 2, k = 3 даст ≈0,180.

Метод: Функция распределения P(X ≤ k)

1. Условие. Какова вероятность не более одного заказа за час (\(\lambda = 2\))?
2. Формула. \(P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\).
3. Подстановка. \(P(X \le 1) = e^{-2} + 2e^{-2}\).
4. Вычисление. \(3 \times 0{,}1353 \approx 0{,}406\).
5. Ответ. Вероятность 0 или 1 заказа — около 40,6%. Режим «P(X ≤ k)» с λ = 2, k = 1 даст ≈0,406.

Главное

• Один параметр \(\lambda\) — среднее и дисперсия одновременно.
• Вероятность k событий: \(\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\).
• Применим к редким независимым событиям за фиксированный интервал.