Сложение и умножение вероятностей

Противоположное событие, сумма несовместных и совместных событий, произведение независимых, условная вероятность и «хотя бы одно из n»

Какое событие считаем

Вероятность события A

Вероятность события B

Вероятность пересечения — только для совместных событий и условной вероятности

Сколько раз повторяется испытание (для правила «хотя бы одно»)

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Сложение и умножение вероятностей»

Теория

Вероятность события — число от 0 до 1. Противоположное событие \(\bar{A}\) означает, что \(A\) не произошло, и вместе они покрывают все исходы, поэтому \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Этот простой приём («считаем через противоположное») экономит больше всего сил в задачах со словами «хотя бы».

Сложение зависит от того, могут ли события произойти одновременно. Несовместные события (например, выпадение 2 и 5 на одном кубике) складываются напрямую: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\). Совместные события пересекаются, и при сложении общая часть считается дважды, поэтому её вычитают: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).

Умножение применяют, когда нужно, чтобы события произошли вместе. Для независимых событий \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\). Если же вероятность \(A\) зависит от того, произошло ли \(B\), используют условную вероятность \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Отсюда правило «хотя бы одно из \(n\) независимых испытаний»: \(P = 1 - (1 - p)^n\) — сначала считаем, что событие не случилось ни разу.

Важно: складывать вероятности можно только у несовместных событий. Если события могут случиться вместе, сумма \(P(A) + P(B)\) завышает ответ — надо вычесть \(P(A \cap B)\).

Пример с решением

  1. Условие. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,3. Какова вероятность хотя бы одного попадания при 5 выстрелах?
  2. Формула. Переходим к противоположному событию: \(P = 1 - (1 - p)^n\).
  3. Подстановка. Вероятность промаха \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\); при пяти независимых выстрелах промахнуться все пять раз — \(0{,}7^5\).
  4. Вычисление. \(0{,}7^5 = 0{,}16807\), значит \(P = 1 - 0{,}16807 = 0{,}83193\), то есть примерно 83,2 %.
  5. Ответ. Хотя бы одно попадание при 5 выстрелах случится примерно в 83 % случаев. Калькулятор в режиме «Хотя бы одно из n испытаний» с полями 0,3 и 5 даст то же значение.

Главное

  • Противоположное событие: \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\) — основа приёмов «хотя бы».
  • Несовместные: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\); совместные: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\).
  • Независимые: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\); условная: \(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\).
  • Хотя бы одно из \(n\): \(P = 1 - (1 - p)^n\), и с ростом \(n\) вероятность растёт.