Теория
Правильный многоугольник — фигура с равными сторонами и равными углами: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и так далее. Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, а в него — вписать.
Удобный приём: соединить центр со всеми вершинами — многоугольник распадётся на \(n\) одинаковых равнобедренных треугольников. Площадь многоугольника — сумма их площадей, поэтому она равна половине произведения периметра на апофему (высоту такого треугольника).
Важно: чем больше сторон, тем ближе правильный многоугольник к кругу: шестиугольник похож на круг уже заметно.
Пример с решением
- Условие. Найти площадь правильного шестиугольника со стороной 1.
- Формула. Шесть треугольников от центра: у шестиугольника они равносторонние со стороной 1.
- Подстановка. Площадь одного: \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\); всего шесть.
- Вычисление. \(S = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}598\).
- Ответ. Площадь \(\approx 2{,}598\), периметр 6. Калькулятор с полями «Сторон n» = 6 и «Длина стороны a» = 1 выдаст те же значения.
Главное
- Правильный многоугольник — равные стороны и равные углы.
- Разбиение от центра даёт \(n\) одинаковых треугольников.
- Площадь — половина произведения периметра на апофему.