Теория
В пространстве чертёж помогает плохо, зато работает координатный метод: каждая прямая задаётся направляющим вектором, а каждая плоскость — вектором нормали. Угол между прямыми — это угол между их направляющими векторами, и его косинус считают через скалярное произведение: \(\cos\varphi = \frac{|a \cdot b|}{|a|,|b|}\). Модуль нужен потому, что угол между прямыми всегда берут острым: от замены вектора на противоположный геометрия не меняется.
Угол между плоскостями ищут по их нормалям: \(\cos\varphi = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1|,|n_2|}\). А вот угол между прямой и плоскостью считается через синус: \(\sin\varphi = \frac{|a \cdot n|}{|a|,|n|}\) — вектор \(a\) составляет с плоскостью тот же угол, что с нормалью, только дополнительный до \(90^\circ\), поэтому косинус превращается в синус.
Расстояние от точки до плоскости тоже находят по координатам: \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\).
Важно: все углы в координатном методе берут по модулю, поэтому ответ всегда лежит в диапазоне от \(0^\circ\) до \(90^\circ\), как бы ни были направлены векторы.
Пример с решением
- Условие. В кубе с ребром \(1\) вершины \(A(0; 0; 0)\), \(B(1; 0; 0)\), \(B_1(1; 0; 1)\). Найдите угол между прямой \(AB_1\) и плоскостью \(ABCD\), у которой нормаль \(n = (0; 0; 1)\).
- Формула. \(\sin\varphi = \frac{|a \cdot n|}{|a|,|n|}\).
- Подстановка. \(a = AB_1 = (1; 0; 1)\), \(|a| = \sqrt{2}\), \(|n| = 1\), \(a \cdot n = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1\).
- Вычисление. \(\sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071\), значит \(\varphi = 45^\circ\).
- Ответ. Угол равен \(45^\circ\). Режим «Угол между прямой и плоскостью» даст то же значение.
Главное
- Прямые: \(\cos\varphi = \frac{|a \cdot b|}{|a|,|b|}\) — через направляющие векторы.
- Прямая и плоскость: \(\sin\varphi = \frac{|a \cdot n|}{|a|,|n|}\) — через направление и нормаль.
- Плоскости: \(\cos\varphi = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{|n_1|,|n_2|}\) — через две нормали.
- Расстояние до плоскости: \(\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\).