Распределение Стьюдента

Теория

Распределение Стьюдента возникает при оценке среднего малой выборки с неизвестной дисперсией. Оно похоже на нормальное, но с более «тяжёлыми хвостами»: чем меньше степеней свободы \(df\), тем шире хвосты. При \(df \to \infty\) оно совпадает со стандартным нормальным.

Критические значения Стьюдента — табличные числа, с которыми сравнивают статистику критерия: если \(|t|\) превышает критическое значение, различия считают статистически значимыми. Критическое значение зависит от уровня значимости \(\alpha\), числа степеней свободы и от альтернативы — двусторонней или односторонней.

Важно: двусторонняя альтернатива при том же \(\alpha\) даёт большее критическое значение, чем односторонняя, — проверять нужно строже.

Пример с решением

Метод: Вероятность P(T ≤ t)

1. Условие. Найдите \(P(T \le 1{,}96)\) при \(df = 10\).
2. Формула. \(P(T \le t)\) — функция распределения Стьюдента с \(df\) степенями свободы.
3. Подстановка. \(t = 1{,}96\), \(df = 10\) — табличное значение.
4. Вычисление. \(P(T \le 1{,}96) \approx 0{,}961\).
5. Ответ. Вероятность около 96,1%. Режим «Вероятность» с t = 1,96, df = 10 даст ≈0,961.

Метод: Критическое значение t

1. Условие. Найдите двустороннее критическое значение при \(\alpha = 0{,}05\), \(df = 10\).
2. Формула. \(t_{crit} = F^{-1}\left(1 - \frac{\alpha}{2}\right)\).
3. Подстановка. \(p = 1 - \frac{0{,}05}{2} = 0{,}975\), \(df = 10\).
4. Вычисление. Квантиль уровня 0,975: \(t_{crit} \approx 2{,}228\).
5. Ответ. Критическое значение \(t \approx 2{,}23\). Режим «Критическое значение» с α = 0,05, df = 10 и двусторонней альтернативой даст ≈2,228.

Метод: Таблица критических значений

1. Условие. Найдите в таблице критическое значение для \(\alpha = 0{,}05\) (двусторонняя), \(df = 10\).
2. Формула. Таблица: строки — \(df\), столбцы — уровни значимости \(\alpha\).
3. Подстановка. Строка \(df = 10\), столбец 0,05.
4. Вычисление. В двусторонней таблице на пересечении стоит 2,228.
5. Ответ. 2,228 — то же значение, что даёт режим «Критическое значение».

Главное

• Похоже на нормальное, но с более тяжёлыми хвостами при малых \(df\).
• Критическое значение зависит от \(\alpha\), \(df\) и альтернативы.
• Двусторонний критерий строже одностороннего.