t-критерий Стьюдента

Теория

t-критерий Стьюдента проверяет гипотезу о среднем по выборочным данным. Если статистика \(t\) по модулю превышает критическое значение распределения Стьюдента, различие считают статистически значимым на уровне \(\alpha\). Критерий предполагает приближённо нормальные данные.

Существуют три варианта. Одновыборочный сравнивает среднее выборки с заданным значением \(\mu_0\): \(t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\). Двухвыборочный (критерий Велча) сравнивает средние двух независимых выборок и не требует равенства дисперсий. Парный применяют к связанным измерениям (до и после) — он проверяет среднее разностей пар.

Важно: для парного критерия выборки обязаны быть попарно связаны и одинаковой длины — порядок значений важен.

Пример с решением

Метод: Одновыборочный

1. Условие. Выборка 2, 4, 6; проверьте гипотезу, что среднее равно 1 (\(\mu_0 = 1\)).
2. Формула. \(t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\).
3. Подстановка. \(\bar{x} = 4\), \(s = 2\), \(n = 3\): \(t = \frac{4 - 1}{2/\sqrt{3}}\).
4. Вычисление. \(t = \frac{3}{1{,}1547} \approx 2{,}598\), \(df = 2\).
5. Ответ. \(t \approx 2{,}60\). Режим «Одновыборочный» с x = «2, 4, 6» и μ₀ = 1 покажет статистику и p-value.

Метод: Двухвыборочный (Велч)

1. Условие. Сравните средние выборок x = 2, 4, 6 и y = 1, 2, 3.
2. Формула. \(t = \frac{\bar{x} - \bar{y}}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}\).
3. Подстановка. Средние 4 и 2; \(s_1^2 = 4\), \(s_2^2 = 1\), \(n_1 = n_2 = 3\).
4. Вычисление. \(t = \frac{2}{\sqrt{4/3 + 1/3}} = \frac{2}{\sqrt{5/3}} \approx 1{,}549\).
5. Ответ. \(t \approx 1{,}55\). Режим «Двухвыборочный» с x = «2, 4, 6», y = «1, 2, 3» покажет статистику и p-value.

Метод: Парный

1. Условие. До лечения: 3, 5, 7; после: 1, 2, 4. Есть ли эффект?
2. Формула. \(t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}\), где \(d_i = x_i - y_i\).
3. Подстановка. Разности: 2, 3, 3; \(\bar{d} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667\), \(s_d = \sqrt{\frac{1/9 + 1/9 + 4/9}{2}} \approx 0{,}577\).
4. Вычисление. \(t = \frac{2{,}667}{0{,}577/\sqrt{3}} \approx 8{,}0\), \(df = 2\).
5. Ответ. \(t = 8\) — сильный эффект. Режим «Парный» с теми же выборками покажет статистику и p-value.

Главное

• Одновыборочный сравнивает среднее с константой \(\mu_0\).
• Двухвыборочный (Велч) сравнивает две выборки без требования равенства дисперсий.
• Парный работает с попарно связанными измерениями.