Теория
Дисперсия измеряет разброс данных вокруг среднего: это средний квадрат отклонений \(\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}\). Стандартное отклонение (СКО) — корень из дисперсии; оно возвращает разброс в исходные единицы измерения, поэтому его удобнее интерпретировать.
Делитель зависит от того, с чем мы работаем. Для генеральной совокупности (все данные целиком) делят на \(n\), для выборки (часть данных, по которой оценивают всю совокупность) — на \(n-1\). Поправка делает выборочную дисперсию несмещённой оценкой.
Важно: дисперсия измеряется в квадратах исходных единиц (руб², м²), а СКО — в обычных; сравнивать с данными имеет смысл только СКО.
Пример с решением
- Условие. Найдите выборочные дисперсию и СКО набора 1, 3, 5.
- Формула. \(s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}\), СКО — \(s = \sqrt{s^2}\).
- Подстановка. Среднее \(\bar{x} = 3\), отклонения −2, 0, 2: \(s^2 = \frac{4 + 0 + 4}{2}\).
- Вычисление. \(s^2 = \frac{8}{2} = 4\), \(s = 2\). Для генеральной совокупности было бы \(\sigma^2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\).
- Ответ. Выборочная дисперсия 4, СКО 2. Калькулятор с числами «1, 3, 5» в режиме «Выборка» даст те же значения.
Главное
- Дисперсия: средний квадрат отклонений от среднего.
- Делитель: \(n\) — генеральная совокупность, \(n-1\) — выборка.
- СКО — корень из дисперсии, единицы — исходные.