Наибольшее и наименьшее значение функции

Критические точки, экстремумы и наибольшее с наименьшим значением на отрезке — задания ЕГЭ

От старшей степени к младшей, не более 6 штук. Например: 1 -3 0 2 — это x³ − 3x² + 2.

Только для режима «на отрезке».

Только для режима «на отрезке».

Как заполнять по формуле: коэффициенты выписываются от старшей степени к младшей, пропущенные степени — нулями.

Например, x³ − 3x² + 2 на отрезке [−1; 4]: коэффициенты «1 -3 0 2», a = −1, b = 4.

Те же коэффициенты «1 -3 0 2» — это x³ − 3x² + 2; калькулятор найдёт критические точки и покажет, где максимум, а где минимум.

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Улучшить калькулятор «Наибольшее и наименьшее значение функции»

Теория

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке — это самые большие и самые маленькие значения, которые функция принимает среди всех точек отрезка. Ищут их не «на глаз» по графику, а перебором подозрительных точек: концов отрезка и критических точек внутри него.

Критические точки многочлена — это корни уравнения \(f'(x) = 0\): производная многочлена существует всюду, поэтому других критических точек у него нет. В критической точке функция может иметь максимум или минимум, но не обязана: важно, меняет ли производная знак при переходе через неё.

Знак производной отвечает за монотонность: где \(f'(x) \gt 0\), функция возрастает, где \(f'(x) \lt 0\) — убывает. Значит, наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются либо в критической точке внутри отрезка, либо на его конце — из этих значений и выбирают ответ.

Важно: равенство \(f'(x_0) = 0\) — необходимое, но не достаточное условие экстремума: у функции \(x^3\) производная \(3x^2\) равна нулю в точке 0, но знак не меняется, и экстремума там нет.

Важно: наибольшее значение на отрезке может достигаться на конце отрезка, а не в точке максимума.

Пример с решением

  1. Условие. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) на отрезке \([-1; 4]\).
  2. Формула. Сравниваем значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри него: \(f(a)\), \(f(b)\) и \(f(x_i)\), где \(f'(x_i) = 0\).
  3. Подстановка. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\), значит критические точки — \(x = 0\) и \(x = 2\), и обе лежат внутри отрезка \([-1; 4]\).
  4. Вычисление. \(f(-1) = -1 - 3 + 2 = -2\), \(f(0) = 2\), \(f(2) = 8 - 12 + 2 = -2\), \(f(4) = 64 - 48 + 2 = 18\).
  5. Ответ. Наибольшее значение \(f(4) = 18\), наименьшее \(f(-1) = f(2) = -2\). В режиме «Наибольшее и наименьшее на отрезке» калькулятор покажет ту же таблицу значений, а в режиме «Экстремумы и монотонность» — максимум в точке \(x = 0\) и минимум в точке \(x = 2\).

Главное

  • Критические точки: корни уравнения \(f'(x) = 0\) — только они могут оказаться точками экстремума.
  • Экстремум: максимум — там, где производная меняет знак с «+» на «−», минимум — с «−» на «+».
  • Алгоритм на отрезке: считаем значения в критических точках внутри отрезка и на его концах, затем выбираем из них наибольшее и наименьшее.
  • Частая ошибка: считать максимум автоматически наибольшим значением функции: максимум \(f(0) = 2\) меньше значения на конце отрезка \(f(4) = 18\).