Уравнение теплового баланса

Теория

Когда горячее тело приводят в контакт с холодным, начинается теплообмен: горячее отдаёт энергию, холодное её получает. Через некоторое время температуры выравниваются, и наступает тепловое равновесие. Главный закон этого процесса — уравнение теплового баланса: теплота, отданная горячим телом, равна теплоте, полученной холодным, \(Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}\).

В развёрнутом виде для двух тел это \(m_1c_1(t_1 - t) = m_2c_2(t - t_2)\), где \(t\) — конечная температура смеси. Отсюда её легко выразить: \(t = \frac{m_1c_1t_1 + m_2c_2t_2}{m_1c_1 + m_2c_2}\). Произведение \(mc\) называют теплоёмкостью тела: оно показывает, сколько джоулей нужно, чтобы нагреть тело на 1 °C. Теплоёмкость воды огромна (\(c = 4200\) Дж/(кг·°C)), поэтому вода — хороший теплоноситель и медленно остывает.

Проверка ответа почти всегда возможна без вычислений: конечная температура обязана лежать между начальными температурами тел. Если получилось число вне этого промежутка, где-то потерян знак или перепутаны массы.

Важно: уравнение баланса работает, пока нет фазовых переходов. Если лёд тает или вода кипит, часть теплоты уходит на плавление или парообразование, и нужны дополнительные слагаемые \(\lambda m\) и \(Lm\).

Пример с решением

1. Условие. В 2 кг воды при 20 °C влили 1 кг воды при 80 °C. Какой станет температура смеси?
2. Формула. \(m_1c_1(t_1 - t) = m_2c_2(t - t_2)\), то есть \(t = \frac{C_1t_1 + C_2t_2}{C_1 + C_2}\), где \(C = mc\).
3. Теплоёмкости. \(C_1 = 1 \times 4200 = 4200\) Дж/°C, \(C_2 = 2 \times 4200 = 8400\) Дж/°C.
4. Подстановка. \(t = \frac{4200 \times 80 + 8400 \times 20}{4200 + 8400} = \frac{504,000}{12,600}\).
5. Вычисление. \(t = 40\) °C. Проверка: 40 °C лежит между 20 °C и 80 °C, а горячая вода отдала \(4200 \times 40 = 168,000\) Дж — ровно столько же получила холодная.
6. Ответ. 40 °C. В калькуляторе это поля \(m_1 = 1\), \(c_1 = 4200\), \(t_1 = 80\) и \(m_2 = 2\), \(c_2 = 4200\), \(t_2 = 20\).

Главное

• Уравнение баланса: \(Q_{\text{отд}} = Q_{\text{получ}}\), для двух тел \(m_1c_1(t_1 - t) = m_2c_2(t - t_2)\).
• Конечная температура: \(t = \frac{C_1t_1 + C_2t_2}{C_1 + C_2}\), где \(C = mc\) — теплоёмкость тела.
• Проверка: ответ всегда между начальными температурами.
• Границы применимости: без плавления и кипения; иначе добавляются \(\lambda m\) и \(Lm\).