Иррациональные уравнения

√f = g и √f = √g: ОДЗ, возведение в квадрат и отсев посторонних корней

Вид уравнения

k₁ — при x в левой части

m₁ — свободный член слева

k₂ — при x в правой части

m₂ — свободный член справа

a — при x² под корнем

b — при x под корнем

c — свободный член под корнем

Как заполнять по формуле: выпишите коэффициенты при x и свободные члены слева и справа — как в тетради.

Например, √(2x + 3) = x − 1: k₁ = 2, m₁ = 3, k₂ = 1, m₂ = −1.

Например, √(5x − 1) = √(3x + 7): k₁ = 5, m₁ = −1, k₂ = 3, m₂ = 7.

Например, √(2x² − 1) = x + 1: a = 2, b = 0, c = −1, k₂ = 1, m₂ = 1.

Нашли ошибку или хотите предложить улучшение?

Теория

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня: \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) или \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\). Корень определён только для неотрицательных чисел, поэтому у такого уравнения всегда есть область допустимых значений, а сам корень — неотрицательная величина. Отсюда и главный сюжет темы: мало найти корни после возведения в квадрат, надо ещё проверить, что они подходят.

Возведение в квадрат — переход неравносильный: из \(x = -2\) следует \(x^2 = 4\), но из \(x^2 = 4\) следует только \(|x| = 2\), то есть появляется лишний корень \(2\). Именно поэтому среди корней уравнения после возведения в квадрат оказываются посторонние: у \(\sqrt{x + 3} = x + 1\) уравнение \(x^2 + x - 2 = 0\) имеет корни \(1\) и \(-2\), но при \(x = -2\) правая часть равна \(-1\), а корень отрицательным быть не может. Равносильный переход получается, если к равенству \(f(x) = g^2(x)\) добавить условие \(g(x) \ge 0\).

Важно: \(\sqrt{f} = g \iff f = g^2\) и \(g \ge 0\) — одного условия на подкоренное выражение мало, правую часть тоже нужно проверять.

Важно: для \(\sqrt{f} = \sqrt{g}\) достаточно \(f = g\) (при этом оба подкоренных автоматически равны и неотрицательны), но проверку ОДЗ всё равно записывают — в ответе бывают промежутки, а не только точки.

Пример с решением

Условие. Решите уравнение \(\sqrt{x + 3} = x + 1\).
Формула. Переходим к системе: \(x + 3 = (x + 1)^2\) при условии \(x + 1 \ge 0\).
Подстановка. Раскрываем квадрат: \(x + 3 = x^2 + 2x + 1\), то есть \(x^2 + x - 2 = 0\).
Вычисление. Дискриминант \(D = 1 + 8 = 9\), корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -2\). Проверяем условие: при \(x = 1\) правая часть равна 2 — подходит; при \(x = -2\) правая часть равна −1 — корень отбрасываем.
Ответ. \(x = 1\). Калькулятор в виде «√(kx + m) = ax + b» показывает те же шаги, а в поле «Ответ» — только проверенный корень.

Главное

Равносильность: \(\sqrt{f} = g\) равносильно системе из двух условий — \(f = g^2\) и \(g \ge 0\); проверка подкоренного выражения без проверки правой части не спасает.
Посторонние корни: возведение в квадрат может добавить решения — их отсеивают проверкой, а не отбрасывают сразу все «некрасивые» корни.
Два корня: \(\sqrt{f} = \sqrt{g}\) сводится к линейному уравнению \(f = g\), поэтому ответ — точка или промежуток, но не пара корней.
Частая ошибка: проверять только подкоренное выражение — при x = −2 из примера оно равно 1, но равенство не выполняется: корень не может быть отрицательным.