Теория
Показательное неравенство — это \(a^{x} \gtrless b\): неизвестное стоит в показателе, поэтому решается оно не вычислением корня, а сравнением показателей. Основание положительно и не равно единице. Если \(a \gt 1\), показательная функция возрастает: большему показателю соответствует большее значение, и \(2^{x} \gt 8 = 2^{3}\) равносильно \(x \gt 3\). Если \(0 \lt a \lt 1\), функция убывает, и знак неравенства переворачивается: из \((0{,}5)^{x} \gt 8 = (0{,}5)^{-3}\) следует \(x \lt -3\).
Логарифмическое неравенство \(\log_a(kx + m) \gtrless b\) устроено так же, но добавляет ОДЗ: под знаком логарифма бывают только положительные числа, поэтому сначала решают \(kx + m \gt 0\), а затем переходят от логарифма к аргументу — при \(a \gt 1\) знак сохраняется, при \(0 \lt a \lt 1\) меняется. Полученное линейное неравенство пересекают с ОДЗ: в ответ идёт именно пересечение.
В сравнении \(\log_a f(x) \gtrless \log_a g(x)\) переходят сразу к аргументам: \(f(x) \gtrless g(x)\) при \(a \gt 1\) и с обратным знаком при \(0 \lt a \lt 1\). ОДЗ здесь у обоих логарифмов, и пересекать нужно с обоими — иначе в ответ попадут числа, при которых один из логарифмов не существует.
Важно: при \(0 \lt a \lt 1\) знак неравенства меняется на противоположный — убывающая функция переворачивает сравнение, и забытый переворот даёт неверный ответ, а не маленькую погрешность.
Важно: ответ логарифмического неравенства — всегда пересечение решения с ОДЗ \(kx + m \gt 0\), само линейное неравенство ответом ещё не является.
Пример с решением
- Условие. Решите неравенство \(\log_2(x + 3) \gt 3\).
- Формула. ОДЗ: \(x + 3 \gt 0\), то есть \(x \gt -3\). Основание \(2 \gt 1\) — логарифм возрастает, поэтому знак сохраняется: \(x + 3 \gt 2^{3}\).
- Подстановка. \(x + 3 \gt 8\).
- Вычисление. \(x \gt 5\). Пересекаем с ОДЗ: луч \(x \gt 5\) целиком лежит внутри \(x \gt -3\), поэтому ответ не меняется.
- Ответ. \(x \in (5; +\infty)\) — тот же, что показывает калькулятор при a = 2, k₁ = 1, m₁ = 3, b = 3.
Главное
- Монотонность: при \(a \gt 1\) показательная и логарифмическая функции возрастают и знак неравенства сохраняется; при \(0 \lt a \lt 1\) убывают, и знак переворачивается.
- Сведение к показателю: \(2^{x} \gt 8 \iff x \gt \log_2 8 = 3\) — правая часть представляется степенью того же основания.
- ОДЗ: у логарифма под знаком стоит \(kx + m \gt 0\); ответ пересекается с ОДЗ даже тогда, когда решение шире него.
- Частая ошибка: забыть перевернуть знак при основании меньше 1 или не пересечь решение с ОДЗ — оба промаха дают лишние значения в ответе.