Теория
Простейшее тригонометрическое неравенство сравнивает функцию с числом: \(\sin x \gtrless a\), \(\cos x \gtrless a\), \(\operatorname{tg} x \gtrless a\), \(\operatorname{ctg} x \gtrless a\). Решают его не по формуле корня, а по единичной окружности: отмечают точки, в которых функция равна \(a\), и выбирают ту дугу, где неравенство верно. Дугу «прочитывают» от одной отмеченной точки до другой — это и есть границы ответа.
Одной дуги мало: у синуса и косинуса картина повторяется через \(2\pi\), у тангенса и котангенса — через \(\pi\). Поэтому к обеим границам приписывают период, и ответ становится серией промежутков.
Важно: без периода ответ неполный: \(x \in \left(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right)\) — это лишь одна дуга, а решений бесконечно много. Пишут \(x \in \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right)\), где \(k\) — любое целое.
Важно: сторону дуги выбирает знак: для \(\sin x \gt a\) подходит дуга НАД прямой \(y = a\), а не под ней; у косинуса — правее прямой \(x = a\), у тангенса и котангенса — по линии тангенсов и котангенсов. Вырожденные случаи \(|a| \ge 1\) у синуса и косинуса дают не дугу, а точку, пустое множество или всю прямую.
Пример с решением
- Условие. Решить неравенство \(\sin x \ge \frac{1}{2}\).
- Формула. Точки, где \(\sin x = \frac{1}{2}\): \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\).
- Подстановка. Неравенству \(\sin x \ge \frac{1}{2}\) отвечает дуга над прямой \(y = \frac{1}{2}\) — углы от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{5\pi}{6}\).
- Вычисление. Период синуса равен \(2\pi\), знак нестрогий — границы входят в ответ: \(x \in \left[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\right]\).
- Ответ. Тот же ответ выдаёт калькулятор при функции sin, знаке ≥ и a = 0,5; в градусах это \([30^\circ + 360^\circ k; 150^\circ + 360^\circ k]\).
Главное
- Единичная окружность: неравенство читают по дуге между точками, где функция равна \(a\).
- Период: у синуса и косинуса \(2\pi k\), у тангенса и котангенса \(\pi k\) — он входит в каждую границу ответа.
- Область значений: \(|a| \le 1\) у синуса и косинуса; у \(\operatorname{tg} x \gtrless a\) и \(\operatorname{ctg} x \gtrless a\) ограничений нет.
- Частая ошибка: взять не ту дугу окружности — например, для \(\sin x \lt a\) выбрать дугу над прямой вместо дуги под ней.